«Начала» Евклида. Постулаты и аксиомы у Евклида
Опубликовано: 31.10.2017
Постулаты и аксиомы – свойства, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны быть логически выводимы из определений, постулатов и аксиом. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость.
«“Начала” Евклида»
Вот список постулатов Евклида.
| 1. | От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. |
| 2. | Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. |
| 3. | Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. |
| 4. | Все прямые углы равны между собой. |
| 5. | Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых. |
|
Модель 1. Система постулатов Евклида |
Постулаты 1–3 определяют возможность построений линейкой (без делений) и циркулем. Полезно уточнить, что под «прямой» Евклид понимает «ограниченную» прямую, то есть, в современной терминологии, отрезок.
Математики многократно обращались к системе постулатов и аксиом Евклида, пытаясь улучшить ее. Так, в XVIII в. было осознано, что постулат 4 является лишним, поскольку вытекает из других постулатов и аксиом.
Подобные исследования длительное время велись и в отношении 5-го постулата, тем более, что он, из-за сложности формулировки, казался гораздо менее очевидным, чем остальные постулаты и аксиомы. Его пытались доказать, исходя из остальных постулатов и аксиом. При этом выяснилось только, что 5-й постулат логически эквивалентен некоторым другим утверждениям (то есть они могут быть выведены из него, а с другой стороны, он сам может быть выведен из любого из них, если считать их уже установленными), но ни он, ни эти утверждения не могут быть доказаны на основе других постулатов и аксиом Евклида. Мыслима геометрия, в которой 5-й постулат не выполняется, а остальные постулаты и аксиомы выполняются (геометрия Лобачевского). Обычно в современных изложениях геометрии 5-й постулат заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных (встречается уже у Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. (Слово «прямая» здесь, как обычно в современной математике, обозначает бесконечную прямую).
В современное время в Интернете существует огромное количество интернет-магазинов, через которые есть возможность приобрести крепление
ГДЗ к учебнику Алгебра 8 класса авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и С.Б. Суворова, является одним из важных изданий для изучения курса алгебры. С его помощью ученик изучит и проанализировать
Сегодня на смену игровым приставкам и тетрисам пришли компьютерные игры. Плюсом их является то, что нет необходимости приобретать дополнительно оборудование для того, чтобы поиграть. Все это можно сделать
Мне всегда нравилось все немецкое. Это касается автомобилей, бытовой техники, инструментов, ну и душевых кабин естественно тоже. И дело не только в качестве (хотя оно всегда безупречно). У немецких производителей
Большинство потребителей знает Xiaomi как производителя качественных и доступных смартфонов. Однако эта компания производит также большое количество сопутствующих товаров, например роутеры ru-mi.com/device/routeryi/.
Среди множества видов и моделей современных средств связи, да и вообще, мобильных электронных устройств, знаменитые Айфоны занимают особое место. Это современное оборудование открывает своим владельцам
Несмотря на то, что некоторые стараются ограничивать себя в сладком, популярность качественных кондитерских изделий стремительно и неуклонно растет. Ведь без сладкого не обходится не одно застолье, а
Всем привет! Как то раз столкнулся с такой ситуацией, что срочно понадобилась сумма в размере около 500 евро. Сразу же начал искать достойный и надежный сервис по кредитованию. Обратился за помощью к
Современная строительная отрасль отличается высокими требованиями, которые предъявляются к ней со стороны контролирующих органов. Это понятно и вполне разумно. Ведь от качества и соблюдения технологических
Это система видеонаблюдения, построенная из IP-видеокамер, которые передают видеопоток в цифровом формате по сети Интернет. Являясь сетевым устройством,