«Начала» Евклида. Постулаты и аксиомы у Евклида

Опубликовано: 31.10.2017

Спиши фан - Надежный помощник в поиске правильно решенных ГДЗ, решебников и рабочих тетрадей для современного школьника.

С поступлением в школу забот у ребенка прибавляется вперед на целых 11 лет. Ежедневно необходимо выполнять домашние задания, работать на уроке, а летом – читать книги из большого списка литературы. Каждый день ребенок получает новые знания, которые помогают ему открывать мир, расширять свой кругозор, становиться разностороннее. Из всех предложенных предметов школьник обязательно найдет то, что будет ему по душе, то, с чем он свяжет свою дальнейшую жизнь.


«“Начала” Евклида»

Ученику важно понимать и разбираться в каждом предмете, ведь школа призвана дать общую картину мира, сведения, полезные и необходимые жизни. Нельзя отдавать предпочтение, например, одной литературе, забывая про физику, ведь она, как и остальные дисциплины, обязательно пригодятся в будущем.

С каждым годом уровень материала растет, поэтому школьнику важно усваивать все и сразу. Но, к сожалению, с быстрым темпом учебы и с обилием программы, это не всегда получается делать. В дальнейшем это может сказаться на учебе, понимании предметов, оценках, итоговых экзаменов.

При использовании этого решебника ученик понимает, что он помогает ему учиться, оттачивать навыки, и что учеба ему необходима. Данное издание является неким сборником материалов, с помощью которых можно преодолеть сложности обучения.

ГДЗ по русскому языку 6 класс М. Т. Баранова, Т. А. Ладыженская, Л. А. Тростенцова поможет школьнику подготовится к контрольным работам, научит выполнять домашнее задание, писать грамотно диктанты, так как имеются варианты диктантов. В данном решебнике, освещены все темы, которые содержит в себе учебник за 6 класс. В нем подробно описаны все этапы и нюансы решения того или иного задания. Благодаря такой наглядности ученик быстрее разберется с упражнениями любой сложности. Пользуясь данным решебником, ученику будет проще освоить фонетику, синтаксис, пунктуацию, речь, словообразование, лексику, общение, так как в нем подробно разобрана каждая тема. Этот решебник позволит школьнику постепенно освоить программу, не просиживая целый день за учебниками и не подвергаясь стрессу.

ГДЗ к рабочей тетради по русскому языку за 6 класс Ефремова Е. А. можно скачать здесь.

Постулаты и аксиомы – свойства, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны быть логически выводимы из определений, постулатов и аксиом. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость.

Вот список постулатов Евклида.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Модель 1. Система постулатов Евклида

Постулаты 1–3 определяют возможность построений линейкой (без делений) и циркулем. Полезно уточнить, что под «прямой» Евклид понимает «ограниченную» прямую, то есть, в современной терминологии, отрезок.

Математики многократно обращались к системе постулатов и аксиом Евклида, пытаясь улучшить ее. Так, в XVIII в. было осознано, что постулат 4 является лишним, поскольку вытекает из других постулатов и аксиом.

Подобные исследования длительное время велись и в отношении 5-го постулата, тем более, что он, из-за сложности формулировки, казался гораздо менее очевидным, чем остальные постулаты и аксиомы. Его пытались доказать, исходя из остальных постулатов и аксиом. При этом выяснилось только, что 5-й постулат логически эквивалентен некоторым другим утверждениям (то есть они могут быть выведены из него, а с другой стороны, он сам может быть выведен из любого из них, если считать их уже установленными), но ни он, ни эти утверждения не могут быть доказаны на основе других постулатов и аксиом Евклида. Мыслима геометрия, в которой 5-й постулат не выполняется, а остальные постулаты и аксиомы выполняются (геометрия Лобачевского). Обычно в современных изложениях геометрии 5-й постулат заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных (встречается уже у Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. (Слово «прямая» здесь, как обычно в современной математике, обозначает бесконечную прямую).